Je to trojrozměrný geometrický útvar složený ze dvou identických rovnoběžných mnohoúhelníků jakožto základn a bočních ploch, které jsou rovnoběžníky. Dostávají specifický název podle počtu stran, které tvoří jejich základnu. Například pokud má základna tři strany, bude to trojúhelníkový hranol , čtyři strany obdélníkový hranol, pět stran pětiboký hranol a tak dále.
Probíraným tématem je konkrétně vše, co souvisí s pětibokým hranolem , ale pro jeho bezpečné studium, interpretaci jeho vzorců a rozpoznávání v geometrických cvičeních a problémech je nutné znát obecně společné aspekty hranolů.
Obecná charakteristika hranolu
Hranol je typ mnohostěnu , tedy trojrozměrný útvar tvořený konečným počtem plochých mnohoúhelníků, které fungují jako stěny. Všechny hranoly sdílejí společnou strukturu, kterou je třeba pochopit před analýzou jakéhokoli konkrétního typu (trojúhelníkový, čtyřúhelníkový, pětiúhelníkový atd.).
Prvky, které tvoří hranol:
- Základny Jsou dva rovnoběžné a stejné polygony které tvoří základnu a vrchol hranolu. Počet stran se může lišit a právě ty dávají hranolu jeho název. Například pokud má základna pět stran, nazýváme ho pětibokým hranolem.
- Boční plochy: jsou rovnoběžníky které oddělují spodní základnu od horní základny a spojují každou stranu spodní základny s odpovídající stranou horní základny.
- Výška: Je kolmá vzdálenost která se nachází mezi dvěma základnami. U pravých hranolů se shoduje s délkou každé boční hrany.
- Hrany: Každá ze stran mnohoúhelníků, které tvoří základny, se nazývá okraje základnyA každá ze stran bočních ploch jednotlivě se nazývá boční okrajHrany společně definují „strukturu“ hranolu.
- Vrchol: Každý z body, kde se setkává několik hran Říká se mu vrchol. V hranolu se v každém vrcholu setkávají tři stěny.
Geometrie a značení hranolu : Obvykle se reprezentuje tak, že se nejprve pojmenuje spodní podstava a poté horní podstava. Například v pětibokém hranolu lze vrcholy spodní podstavy označit A, B, C, D, E a vrcholy horní podstavy F, G, H, I, J, takže každá boční hrana spojuje dvojici odpovídajících vrcholů (A s F, B s G atd.). Toto značení je velmi užitečné pro popis hran, ploch a řezů při řešení problémů.
Klasifikace hranolů
Hranol se klasifikuje podle několika charakteristik: tvaru jeho základn, délky jeho stran, orientace jeho bočních ploch a vnitřních úhlů jeho základn. Pochopení těchto klasifikací vám pomůže identifikovat, jaký typ hranolu se v úloze objevuje a jaký vzorec použít.
Hranol je klasifikován podle vlastností svých bází v:
- Pravidelný: Je to takový, jehož základem je pravidelný mnohoúhelníkTedy mnohoúhelník, který má všechny strany stejné délky a také jeho vnitřní úhly jsou stejné velikosti. V pravidelném pětiúhelníkovém hranolu jsou dvě základny pravidelné pětiúhelníky.
- Nepravidelný: Je to ten, jehož báze jsou reprezentovány polygony s různými stranami a vnitřními úhly navzájem. Každá strana může mít jiný rozměr a vnitřní úhly nemusí být stejné.
Podle počtu stran, které mají jejich základny, se dělí následovně:
- Trojúhelníkové 3 strany
- Čtyřhranný 4 strany
- Pětiboká 5 stran
- Šestihranný 6 stran
- Sedmiboká 7 stran
- Osmiboká 8 stran
- 9stranný eneagon nebo nonagon
- Desetiúhelník s 10 stranami… a tak dále.
Obecně platí, že pokud je základnou N-stranný mnohoúhelník , nazývá se N-boký hranol . V konkrétním případě, který nás zajímá, je N = 5 a získáme pětiboký hranol.
Podle jejich bočních tváří jsou klasifikovány do:
- Pravý hranol: On je ten, kdo jich má tolik boční plochy jak je tvarována jeho základna. Jeho boční plochy jsou obdélníkový (nebo čtverce v některých konkrétních případech) a boční hrany jsou kolmý k základnám. U těchto hranolů se výška shoduje s délkou každé boční hrany.
- Šikmý: Šikmý hranol nemá kolmost bočních ploch vzhledem k podstavě. Jeho boční plochy jsou kosodélníky (nakloněné rovnoběžníky). Mají tu zvláštní vlastnost, že jejich výška (kolmá vzdálenost mezi základnami) se neshoduje s hodnotou jejích bočních hran, které jsou nakloněné.
Podle jejich vnitřních úhlů jsou rozděleny do
Konkávní: Hranol lze klasifikovat jako konkávní , pokud jsou jeho vnitřní úhly větší než 180°. Vzhledem k jeho nepravidelnému tvaru, který vytváří dojem štěrbiny ústící do hranolu, jej může přímka protínat ve více než jednom bodě. Základnou je v těchto případech konkávní mnohoúhelník.
Konvexní: Hranol je konvexní , když jeho vnitřní úhly měří menší než 180° a navíc, když jím prochází přímka, protíná ji pouze ve dvou bodech. Většina hranolů studovaných v elementární geometrii, včetně pravidelného pětibokého hranolu , je konvexní.
Pětiúhelníkový hranol
Nyní jsme připraveni dozvědět se více o pětibokém hranolu. Poté, co jsme identifikovali vlastnosti společné všem hranolům, se podrobněji zaměříme na pětiboký hranol . Pětiboký hranol je hranol, jehož základny jsou shodné a rovnoběžné pětiúhelníky a jehož boční stěny jsou tvořeny pěti rovnoběžníky.
Z pohledu mnohostěnů je pětiboký hranol mnohostěn se 7 stěnami (2 pětibokými a 5 bočními). Pokud jsou základny pravidelné pětiúhelníky a boční stěny obdélníky, nazýváme jej pravým pravidelným pětiúhelníkovým hranolem . Pokud jsou základny nepravidelné nebo boční stěny šikmé, bude považován za nepravidelný nebo šikmý, podle potřeby.
Rysy
Pětiboký hranol má následující základní vlastnosti, které je třeba si zapamatovat, protože se často objevují v úlohách zahrnujících počítání stěn, vrcholů a hran:
- ZákladnyMá dva rovnoběžné a stejné pětiúhelníky. Tyto základny jsou shodnýTo znamená, že mají stejnou velikost a tvar a definují obrys hranolu.
- CarasMá pět bočních ploch a dvě základny; celkem jich je sedm tváříBoční plochy jsou rovnoběžníky (obdélníky, pokud je hranol pravý).
- Altura. Je vzdálenost mezi dvěma základnamiV pravém pětibokém hranolu se shoduje s délkou každé boční hrany; v šikmém hranolu se neshoduje.
- Vrchol. Toto jsou body hranolu, kde se setkávají tři stěny; celkem je jich 10 vrcholů5 na spodní základně a 5 na horní základně.
- Hrany. Toto jsou segmenty, kde se setkávají dvě stěny hranolu; celkem má 15 hran5 na spodní základně, 5 na horní základně a 5 bočních hran, které je spojují.
Podle Eulerovy věty existuje vzájemný vztah mezi počtem stěn (F), hran (A) a vrcholů (V) každého hranolu, jehož vnitřní úhly měří menší než 180° (konvexní).
Pro konvexní mnohostěny platí následující vztah:
V − A + C = 2
Použitím ekvivalentního vzorce A = C + V − 2 lze zjistit počet hran pětiúhelníkového hranolu:
A = 7 + 10 − 2 = 15
Tento vztah je velmi užitečný pro kontrolu, zda jste v úloze správně spočítali plochy, hrany nebo vrcholy. Pokud dosadíte data do Eulerova vzorce a nedostanete 2, je v počtu chyba.
Jak Vypočítejte plochu pravidelného pětiúhelníkového hranolu
Pokud je pětiboký hranol pravidelný a pravý , jeho základny jsou pravidelné pětiúhelníky a jeho boční stěny jsou shodné obdélníky. Výpočet jeho celkového povrchu je proto obzvláště jednoduchý, protože všechny strany základny mají stejnou délku.
V pravidelném pětibokém hranolu pracujeme s těmito veličinami:
- L: měření jedné ze stran základního pětiúhelníku.
- ap. (apothem): nejkratší vzdálenost od středu pětiúhelníku k kterékoli z jeho stran.
- h: výška hranolu (délka bočních hran v pravém hranolu).
Celkový povrch pravidelného pětibokého hranolu:
Plocha = 5 · L · (př. + v)
Tento výraz shrnuje součet ploch dvou základen a bočních ploch :
- Plocha základny (pravidelný pětiúhelník): Ab = (5 · L · ap.) / 2.
- Plocha dvou základen: 2 · Ab = 5 · L · ap.
- Obvod základny: P = 5 · L.
- Boční plocha: Al = P · h = 5 · L · h.
Sečteme: 2 · Ab + Al = 5 · L · ap. + 5 · L · h = 5 · L · (ap. + h), což je předchozí vzorec. Všimněte si, že klíčem je obvod základny , který násobí jak apothem (pro vytvoření základn), tak výšku (pro vytvoření boční příčky).
Jak zjistit hodnotu ap (apothem) pětiúhelníkového hranolu?
Apothem je proměnná, která není tak zřejmá jako ostatní, ale je klíčová pro výpočet plochy základny, pokud je pětiúhelník pravidelný. Naštěstí ji můžeme odvodit z počtu stran a délky každé strany.
Známe-li počet stran (N) a jejich délku (L), nejprve vypočítáme středový úhel, který svírá střed mnohoúhelníku se dvěma po sobě jdoucími vrcholy:
θ = 360° / N
Příklad: středový úhel pravidelného pětiúhelníku:
θ = 360° / 5 = 72°.
Dále se pomocí trigonometrie najde apothem. Pokud nakreslíme rovnoramenný trojúhelník spojující střed pětiúhelníku se dvěma po sobě jdoucími vrcholy, vydělením jeho výšky vznikne pravoúhlý trojúhelník, jehož základna je L/2 a ostrý úhel je θ/2. V tomto trojúhelníku je apothem odvěsna sousedící s úhlem θ/2.
Můžeme tedy použít:
ap = (L / 2) / tan(θ / 2)
Nebo napsáno jako v původním textu:
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
Podrobný příklad: Je-li dán pětiúhelníkový hranol o stranách 20 cm a výšce 30 cm, určejme jeho obsah. Již víme, že středový úhel pravidelného pětiúhelníku měří 72°. Určeme jeho apothem:
θ = 72°
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
ap = 20 / (2 × tang (72 / 2))
ap = 20 / (2 × tan (36°))
ap = 20 / (2 × 0,73) (přibližně tangens(36°) ≈ 0,73)
ap = 20 / 1,46
ap ≈ 13,69 cm
Nyní máme všechna data pro určení jeho celkové plochy:
Plocha = 5 × L × (ap + h)
Plocha = 5 × 20 × (13,69 + 30)
Plocha = 100 × 43,69
Plocha ≈ 4369 cm²
Všimněte si, že tento výsledek představuje celkový povrch hranolu (plocha boku + dvě podstavy). V mnoha cvičeních budete požádáni o výpočet plochy boku a plochy podstav odděleně; jednoduše použijte již uvedené vzorce:
- Boční plocha: V = 5 · D · v = 5 · 20 · 30 = 3000 cm².
- Plocha dvou základen: 2 Ab = 4369 − 3000 = 1369 cm².
Plocha nepravidelného pětiúhelníkového hranolu
Pokud základna není pravidelný pětiúhelník, ale pětistranný mnohoúhelník s různými délkami stran a úhly, je hranol nepravidelný pětiúhelníkový hranol . V tomto případě vyžaduje výpočet obsahu další kroky, protože již nemůžeme použít vzorec pro pravidelný pětiúhelník s apothemem.
Vzhledem k tomu, že nepravidelný pětiúhelníkový hranol má jako základnu dva nepravidelné pětiúhelníky, je nutné najít plochu nepravidelného pětiúhelníku (Ab), jeho obvod (Pb) a výšku hranolu, abychom mohli vypočítat plochu hranolu.
Vzorec pro plochu nepravidelného pětiúhelníkového pravoúhlého hranolu je:
Plocha hranolu = 2 · Ab + Pb · h
Plocha nepravidelného pětiúhelníku s podstavou (Ab) se zjistí triangulační metodou , což znamená rozdělení na menší trojúhelníkové obrazce za účelem výpočtu jejich ploch, a tím snadnějšího získání celkové plochy pětiúhelníku jejich sečtením.
V praxi se pro aplikaci triangulační metody postupuje podle těchto koncepčních kroků:
- Spojte jeden vrchol pětiúhelníku se všemi ostatními (kromě jeho sousedních vrcholů) a rozdělte tak obrazec na tři trojúhelníky.
- Vypočítejte plochu každého trojúhelníku pomocí vhodného vzorce (například základna × výška / 2 o la formule de Herón pokud znáte tři délky stran).
- Sečtěte plochy trojúhelníků, abyste získali celkovou plochu nepravidelného pětiúhelníku.
Obvod nepravidelného pětiúhelníku se základnou (Pb) se zjistí sečtením délek jeho pěti stran. Tato hodnota je nezbytná pro výpočet laterálního povrchu , protože každá boční stěna má jednu z těchto stran jako základnu a výšku hranolu jako svou výšku.
Plocha šikmého pětiúhelníkového hranolu
Vzorec pro výpočet plochy tohoto typu hranolu se liší od vzorce pro pravoúhlý pětiúhelníkový hranol, protože boční plochy jsou nakloněné a netvoří pouze obdélníky se základnou jako stranou základny a výškou jako výškou hranolu.
Plocha základn se vypočítává stejným způsobem jako u pravého hranolu (v závislosti na tom, zda je pětiúhelník pravidelný nebo nepravidelný). Rozdíl spočívá ve stranách, které jsou nakloněné.
Boční plocha šikmého pětiúhelníkového hranolu souvisí s velikostí boční hrany a obvodem průřezu hranolu.
Průsečík roviny s hranolem, který svírá s každou z bočních hran úhel 90°, je pravý řez hranolem . To znamená, že se jedná o plochou základnu, kterou pozorujeme, když je hranol příčně rozdělen řezem kolmým k bočním hranám.
Pro nalezení grafického znázornění průřezu libovolného šikmého hranolu postupujte následovně: přiložte úhelník k jedné z jeho bočních hran a svírejte s ním úhel 90°. Nakreslete čáru, která dosáhne sousední hrany, a tak dále s ostatními hranami. Po dokončení tohoto postupu lze v rovině vizualizovat povrch, který tvoří průřez.
Plocha = 2 · Ab + Psr · a
Kde Ab je plocha základny, Psr je obvod přímého řezu hranolu a a je boční hrana (šikmá délka mezi dvěma základnami).
Pro určení obvodu pravého průřezu jednoduše srovnejte jednu z jeho hran pod úhlem 90°, změřte vzdálenost od této hrany k jejímu průsečíku s rovnoběžnou hranou a tuto vzdálenost sečtěte pětkrát. Tato vzdálenost představuje stranu pravého průřezu a jejím vynásobením 5 získáte Psr v případě pětiúhelníkového hranolu.
Objem pětiúhelníkového hranolu
Pro výpočet objemu pětiúhelníkového hranolu, ať už pravého nebo šikmého, se používá obecný vzorec pro všechny typy hranolů: vynásobte plochu základny (Ab) výškou ( h).
Objem = Ab · h
Pokud je pětiboký hranol pravidelný, můžeme Ab dosadit jeho specifickým vzorcem:
Ab = (5 · L · ap) / 2
Pak bude objem:
Objem = (5 · l · ap / 2) · h
Nezapomeňte, že u pravého hranolu se výška rovná délce boční hrany, zatímco u šikmého hranolu se výška rovná délce boční hrany, bez ohledu na typ hranolu. Je velmi důležité nezaměňovat tyto dva pojmy, protože chyba zde zcela změní výpočet objemu.
Mnoho aplikačních cvičení vás může například požádat o výpočet objemu nádoby ve tvaru pětiúhelníkového hranolu nebo množství materiálu potřebného k její výrobě. V takových případech:
- Používáte Volumen vztáhnout to ke kapacitám (litry, metry krychlové atd.).
- Používáte celková plocha vědět, jak velká plocha by měla být pokryta materiálem (karton, kov, plast…).
Jak vyrobit pravý pravidelný pětiúhelníkový hranol
Pro konstrukci pravého pravidelného pětiúhelníkového hranolu na papíře nebo kartonu je užitečné nejprve znát některá fakta o geometrii pětiúhelníku:
θint = 108° je vnitřní úhel svíraný dvěma stranami základního pětiúhelníku (pevná míra pro pravidelný pětiúhelníkový obrazec).
L = strana pětiúhelníku
H = výška hranolu
Pětistranný zdvih základny
Než začnete kreslit hranol, musíte definovat jeho základny. Jednoduchým a ne příliš technickým způsobem vám vysvětlím, jak nakreslit pravidelný pětiúhelník pouze s použitím pravítka, úhelníku a úhloměru.
- Nakreslete přímku, která bude sloužit jako výchozí bod (obr. 1). Ujistěte se, že je čára o něco delší než požadovaná délka každé strany pětiúhelníku, abyste mohli pohodlně pracovat.
- Označte požadovanou délku stran vašeho pětiúhelníku, čáru (ab) (obr. 2). To bude první hrana pětiúhelníkové základny.
- S pomocí úhloměru, spočívajícího na bodě „a„A vlevo najděte úhel 108°. Nakreslete čáru mezi bodem „a“ a průsečíkem s nalezeným úhlem a na ní vyznačte zvolenou délku stran pětiúhelníku (čára ac) (obr. 3). Tím získáte druhou stranu.“
- Začněte v bodě b a pohybujte se doprava a opakujte stejný postup jako předtím, abyste našli druhou stranu (přímku bd) (obr. 4). Nezapomeňte vždy zachovat stejnou délku strany L, aby byl pětiúhelník pravidelný.
- Dále se zaměřte na bod „c“, vždy se snažte o úhel 108° a nakreslete čáru (ce) (obr. 5). Znovu si označte stejnou délku L.
- Nakonec spojte body ed, které tvoří chybějící stranu. Mělo by se automaticky vytvořit úhel 108° (obr. 6). Pokud jste s úhloměrem a pravítkem pracovali přesně, pětiúhelník bude pravidelný.
Tento geometrický útvar lze nakreslit techničtějšími a přesnějšími způsoby (například pomocí kružnice založených na kružnici opsané kružnici), ale zde vám to vysvětlím jednoduchým způsobem s použitím pouze základních kreslicích nástrojů.
Úspěch konstrukce hranolu bude do značné míry záviset na přesnosti jeho základních výkresů . Malá chyba v úhlu nebo délce strany může způsobit, že plochy hranolu k sobě později nebudou správně pasovat.
Přesnost konstrukce vašeho pětiúhelníkového podstavce bude záviset na vašich dovednostech a znalostech měřicích nástrojů, které doporučuji: pravítko, úhelník a úhloměr. Věnujte čas pečlivému změření každého úseku a přesnému označení úhlů.
Hranolová stopa
Jakmile máte pětiúhelníkovou základnu, můžete přejít k návrhu plochého rozvinutí hranolu, což je obrazec, který vystřihnete a složíte, abyste ho sestavili ve třech rozměrech.
- Nakreslete dlouhou přímku, která bude sloužit jako základ pro začátek kreslení bočního rozvoje.
- Na této čáře pětkrát postupně vyznačte míru (L). Těchto pět značek představuje šířky pěti bočních ploch.
- Kolmo ke každému bodu nakreslete svislé čáry představující hrany s výškou (H). Tím získáte pět souvislých obdélníků.
- Spojte všechny body přímkou a získáte velký obdélník rozdělený na pět stejných a rovnoběžných částí; ty představují každou z boční plochy hranolu.
- Na centrálním obdélníku nebo ploše, nebo na jakékoli jiné ploše, kterou preferujete, nakreslete nebo přidejte pětiúhelníkovou základnu na horní i dolní část. Je nezbytné ji nejprve nakreslit a poté ji použít jako základ pro obkreslení hranolu, aby se zajistilo dokonalé splnění.
- Přidat řas podél všech stran bočních ploch kromě jedné. Tyto úchytky použijete k sestavení hranolu, nanesení lepidla a přilepení k sousedním plochám.
- Opatrně vystřihněte vzor a naneste lepidlo na jazýčky. Před přeložením si všechny linie narýhujte tupou stranou nůžek nebo pravítka, abyste vytvořili mírný záhyb a usnadnili přeložení okrajů bez roztržení papíru.
Tento typ konstrukční aktivity je velmi užitečný pro studium pětiúhelníkového hranolu, protože umožňuje vizuálně propojit plochou síť (plochy a výstupky na papíře) s trojrozměrným obrazcem, který získáte jeho složením. To vám pomůže lépe pochopit, kde jsou základny, kolik bočních ploch má hranol, proč má 15 hran a jak jsou vrcholy spojeny.
Když zvládnete tyto pojmy – typy hranolů, prvky (plochy, hrany, vrcholy), vzorce pro výpočet plochy a objemu a grafické znázornění pomocí vývoje – přestává být studium pětiúhelníkového hranolu něčím abstraktním a stává se jasným cvičením, kde každý geometrický údaj má konkrétní a vizuální význam.